Culmann
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Teorema di Culmann

2.7.2 Teorema di Culmann

2.7.2.1 Enunciato:

Dato un sistema di forze i lati corrispondenti di due poligono funicolari si incontrano in punti giacenti su una medesima retta r, detta di Culmann, la quale è parallela alla congiungente i due poli P e Q dei due poligono delle forze impiegati per la costruzione dei due poligoni funicolari

2.7.2.2 Dimostrazione:

 a) dato un sistema di forze F1, F2, F3 si costruisce a lato del sistema una poligonale aperta 0123 ponendo ordinatamente di seguito l'uno all'altro dei vettori corrispondenti alle forze componenti il sistema, vedi fig. 4b;

b) scegliamo un primo polo P e congiungiamo i punti 0,1,2 e 3 con detto polo P ottenendo le proiettanti a, b, c, d.

c) con queste proiettanti tracciamo un primo poligono funicolare a, b, c, d.

d) scegliamo un secondo polo Q e congiungiamo i punti 0,1,2 e 3 con detto polo Q ottenendo le proiettanti a', b', c', d'.

e) con queste proiettanti tracciamo un secondo poligono funicolare a', b', c', d'.

f) prolunghiamo i lati corrispondenti (od omologhi) sino ad incontrarsi nei punti A, B, C, D; evidentemente il punto A è l'incontro dei lati corrispondenti a e a', punto B dei lati corrispondenti b e b' e così via;

g) congiungiamo tra loro i punti A B, C e D descrivendo così una retta r detta retta di Culmann.

Dimostriamo ora che in effetti i punti A, B, C e D sono allineati su una medesima retta:

i) nella figura 6a si individui il poligono AB'B"B esso è simile al poligono 1PQ2 individuabile nella figura 6b in quanto presentano cinque coppie di lati tra loro rispettivamente paralleli (tre lati e due diagonali) (vedere teoremi di geometria);

l) pertanto anche i corrispondenti lati AB e PQ sono tra loro paralleli;

m) prendiamo un secondo poligono BC'C"C nella figura 6b e il poligono 1PQ2 nella figura 6a anch'essi sono simili in quanto presentano cinque coppie di lati tra loro rispettivamente paralleli;

n) quindi i lati BC e PQ sono tra loro rispettivamente paralleli;

o) medesima cosa si può dire dei lati CD e PQ;

q) i due segmenti AB, BC hanno in comune il punto B e sono entrambi paralleli a PQ quindi i punti A, B e C giacciono su una stessa retta (ABC), così come giacciono su una medesima retta (BCD) i punti B, C e D; per cui è semplice concludere che i punti A, B, C e D giacciono sulla stessa retta r detta di Culmann.

Il teorema di Culmann è importante per la costruzione grafica di particolari poligoni funicolari.

Fig. 6

 Culmann, Karl

 Ingegnere e matematico tedesco (Bergzabern 1821-Zurigo 1881).

Prese parte ai lavori della ferrovia del Fichtelgebirge quale progettista di ponti.

Approfondì lo studio della geometria proiettiva ed è considerato il fondatore della statica grafica che si sviluppò come dottrina omogenea nell'opera "Die graphische Static" (1866).

Nel 1855 occupò la prima cattedra di ingegneria del Politecnico di Zurigo; durante gli anni di insegnamento perfezionò i metodi grafici per la determinazione dei poligoni delle forze e dei poligoni funicolari.

Gli si devono inoltre la teoria dell'ellisse di inerzia (nota anche come ellisse di Culmann), di fondamentale importanza per il calcolo grafico dei momenti di inerzia di una figura piana rispetto a rette appartenenti allo stesso piano, e quella, non meno importante, dell'ellisse di elasticità, applicata sistematicamente da W. Ritter allo studio delle deformazioni delle travi elastiche piane.

 

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by Maurizio Colli Tibaldi - e-mail: maurizio.collitibaldi@scuole.provincia.tn.it